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关于“平移与旋转”的对话
作者:史宁中等    文章来源:转载    点击数:    更新时间:8/28/2009

   

中小学数学课程为什么加入“平移与旋转”内容?这部分内容的作用和价值体现在哪些方面?如何看待其数学本质?在课程实施过程中,如何把握这些内容及其要求?针对这些问题,东北师范大学有关学者进行了专题讨论和访谈,本文就是这次交谈的实录,从中可以窥见所提问题的答案。

   

话题1 为什么要增加平移旋转,其意义和作用体现在哪些方面?

马云鹏(以下简称为M):在本次课程改革中,几何的变化比较大,原来小学的几何主要涉及图形的认识及其计算,如长方形、正方形、长方体、正方体及其面积、周长、体积的计算,其它的内容比较少。

在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《课程标准》)研制前后,逐渐发现小学几何的内容结构有许多问题。仔细分析,我们渐渐认识到,除传统的图形认识及其计算之外,还有一些东西很重要的:

首先是位置,知道方位,知道路线。比如说,有这样一个最简单的事情:你能不能描述一下从东北师大到火车站应该怎么走?有的人说得非常清楚,照他说的就能走到,而有的人就讲不清楚。这种线路、方位的内容,原来只是东、南、西、北,现在加上东北、东南、西北、西南,加上方位、线路图,就构成“位置”的课程内容。

其次,就是一些基本图形的变化。以往的中小学数学关于图形的位置关系只涉及轴对称,非常简单。而这次改革增加了对平移旋转的内容,一个图形经过平移之后发生了什么变化?旋转呢?

另一个内容就是“从不同方向看”,即从不同角度来观察一个事物、图形,比如雕塑,从正面看是什么样?从侧面看又是什么样?从上面呢?从下面呢?这有点像以往《画法几何》上所学的三视图那样,但又不是那样专业,而是以生活化的方式呈现。

将这样一些东西写进《课程标准》中,是希望小学阶段的几何内容更丰富。学生能否接受这些内容?在小学的两个学段,学生应当学习什么?初中能够接受到什么程度?其间,我们参考了国外的课程标准、案例和教科书,更期望数学教学实验可以验证这些内容的可行性。

如何看待这些内容的教育价值?所蕴含的数学价值是什么? 对学生的发展又有什么作用?对此,我们一直希望从数学的角度、从它的意义和价值、从学生的学习角度,进行认真、细致的探索。

当前,在义务教育课程标准数学实验教科书中,平移、旋转、方位等内容都有涉及。尽管各个版本的教材都编入了这些内容,但是,对于上面所提得问题,大家未必都清楚。

请史校长谈一谈这些方面的问题。

 

史宁中(以下简称为S):对于你刚才所说的线路图,关键知道三件事就可以:到那儿开始拐,怎样拐,拐完之后走多远。其实,这件事和后面有必然的联系,一是旋转,一是平移。

M:它和旋转、平移有什么关系呢?

S:它就是旋转、平移。因为拐弯就是个旋转,走多远就是平移,到这个地方再拐弯,它实质上是旋转与平移的叠加,是将二者放在一齐。

旋转、平移是几何变换最简单的形式,就像你刚才说的路线图一样。现实生活中的位移,本质上都是平移和旋转的多次重复。

在这里,有一个东西是最重要的——参照系。什么叫做变化?有这个参照系以后就好描述,相对于参照系来说,这个位置改变了,也就是,它的前后两个位置的方向、距离不同,它就变化了,否则就没变化。

爱因斯坦相对论中最重要的、最根本的就是参照系。爱因斯坦研究什么叫同时,他用不同的参照系,那么,同时的概念就不一样。所以说,要研究旋转、平移必须有参照系。

M:参照系是否可以是一个点、一条线?

S:在本质上都可以。如果参照系是一个点的话,它能不能看出旋转、平移呢?物体必须有几个点?如果这个点以极坐标的形式出现的话,那就好办了,它不仅能够知道它变化前后的角度,而且还能知道变化的远近。在这里,只要有一个点,就能看出来它变了,但看不出是怎么变的。

我们可以仔细研究一下坐标系,在本质上讲,在平面上,因为这个东西最起码是二维以上的才能旋转,所以,参照系一般至少是二维的。一维的、要不就是直线,你那个点是零维的,零维的不行。如果在二维看,必须是坐标系,最好是直角坐标系,才能看得更清楚。这样的话,旋转、平移就是一种简单的变换了。

 

话题2 如何理解平移、旋转和轴对称的数学含义?

S:如此说来,平移、旋转最简单、最根本的核心是什么呢?是刚体变换。刚体变换是什么意思呢?就是说,这种变换不改变物体的任何两点之间的距离。比如,如果有两个点的话,平移、旋转之后,这两个点之间的距离不变。如果有三个点的话,任意两个点的距离保持不变,因而也保持了点之间构成的线段的夹角保持不变。满足这样的变换只有旋转、平移和反射,如果用坐标变换的话,是正交变换。正交变换的特点是什么呢?正交变换对应的矩阵都是正交矩阵,也就是矩阵与转置矩阵的乘积为单位矩阵。

M:那么,空间中的物体旋转和平移呢?

S:也是刚体变换,三维的用平面度量是不够的,必须用三维来度量。

孔凡哲(以下简称为K):那么,与平移、旋转相比,反射有什么特殊的性质吗?

S:平移、旋转并不改变物体上点与点之间的左右顺序,而反射变换则不同。反射变换虽然也是正交变换,其对应的正交矩阵是但是,物体的反射变换在平面内是无法实现的,你可以想象,只有借助空间中翻转180,才能实现。

 

话题3:如何看待作为小学数学课程内容的平移、旋转与轴对称?

M:如果我们开始不讲直角坐标系的话,如何让小学生懂得这一点呢?

S:用方格纸代替参照系也可以,但必须有参照物,书中不写参照物,那就不叫变换。你凭什么说变换?变换是这样,必须有相对运动,你让坐标系变动、而物体不动是可以的,如果你让参照系不动、而物体变动也行,事实上,参照系的变动也就等于物体的变动,二者是相互的。

K:有时候,参照系可以在现实世界作为背景,假如我们以桌面作为背景,桌面不动,我从这个地方转到另一个地方。

S:假设小孩坐在火车上,他看见对面火车开了,往往会说自己坐的火车开动了。如果这两辆火车以同样的速度同时开,就不会发生这样的情况,参照系跟着变了,它就不变了。所以,参照系在纸上是不动,你感觉到物体在变。这种理解是非常重要的,这是一个辩证的关系。

M:对小学生来说,是不是也要让他从直观角度理解这种变换需要有参照系呢?

S:应当从直观的角度理解。事实上,旋转变换一共有两个要点:旋转轴(旋转中心)和角度。位置变化反而较难,因为你有参照系了,有了参照系的时候,斜着变较难理解。

M:斜着变,它是不是应该都按水平、垂直的方向变化呢?现在的教科书大都没有直接写斜着变,你要讲斜着变,就先往左移动,然后再往上移动。

S:那也行,你先把参照系定好之后,对一个变换来说,你必须把握两点:如果这个参照系是直角坐标系的话,那么,你先按它的x轴进行变换,然后再按它的y轴进行变换,可以达到同样的效果。这个变换实质上相当于沿第一条直角边移动,再沿第二条直角边移动。

M:小学对于平移的处理方式通常是走两个直角边而不是直接走斜边。

S:对小孩子怎么说呢?

K:只要确定一个方向就行了,确定方向和平移距离就行了,这是两个要点。只要给我规定了方向,不一定沿着水平方向和竖直方向,我就规定说让你沿着这个方向走,我不考虑你原来参照系是什么样,我只要规定方向和规定平移多少距离就行。

S:那什么叫平移的方向?

K:在初中,通常是这样描述的:将一个物体沿着同一个方向移动相同的距离,就叫平移。

S:一个三角形,你把这个三角形平移到这,你的参照系是什么?如果没有设定的参照系,有许多事情是说不清的。

M:把图形作为一个整体,比如说一个三角形,我在方格纸上移动两个格,它就相当于把三角形上所有的点都按照同一个方向移动了相同的距离…

S:这话矛盾了,一个物体是不是?如何理解同一个物体?什么叫按照同样的方向?

M:也就是将它整体移动。

S:这句话本身是矛盾的,一个物体只能按一个方向。事实上,一方面,你是按一个物体移动,此时只有一个方向;另一方面,你又把物体上的点看作是不同的,这些点按同样的方向移动。

K:应该说,按相同的方向。

S:怎么叫相同的方向?这种表达其含义是模糊的。一个物体的同一次运动只能一个方向。

K:有了参照系,一切就好表述了。在平面上,参照系实际上可以是两条互相垂直的坐标轴,也可以是由极点、极角和距离构成的极坐标系。而在直线上,数轴可以构成参照系。在三维空间中,参照系可以是由横轴、纵轴和竖轴构成的坐标系。

M:方格纸也可以看作小学的一个参照系。当你把三角形画在一个方格纸上进行平移时,通常是这样思考的:三角形有三个点,把一个点向右移动两个格,第二个点也同时向右移动两个格,第三个点也同时向右移动两个格。这个三角形向右移动两个格,其实相当于所有的点都平移两个格。因为线段的两个端点之间的平移是同样的,这就相当于把三条线段同时平移了两个格。

S:其实,在平面上,平移两个点就够了,无论这个图形是什么图形。任何一个物体只要有两个点,它们俩平行地走同样的距离,也就是,它拉动了这个物体,这就平移了。

K:在移动过程中,要保证它形状不变。

M:仅仅固定一个点,可能形成旋转。

K:如何看待平移、旋转与平面几何的关系呢?一提平移旋转,许多人往往联想起变换几何。

S:我的理解是,平面几何与平移旋转无关,为什么呢?平面几何所研究的东西,总体上是固定的,是没有参照系的。直到笛卡尔时期才可能产生参照系这种概念。虽然人们很早很早就研究圆锥曲线,但那时没有方程,光有图形、性质,也没有平移和旋转。

 

话题4:如何理解平移、旋转对学生数学学习的作用和价值?

M:解决平移、旋转等等这样问题,其意义是什么?学习这类问题的价值是什么?有没有很好的例子?

S:我想,最起码就是我刚才说的路线问题。

M:您是说路线问题与平移旋转有关?在《课程标准》设计时,没有将路线与平移、旋转联系起来。

K:是的,二者的确没有结合起来。

M:我们原来设计的路线问题只是涉及方位,使学生认识方位而已。

S:这是现在的数学与过去的数学最大的差异。过去的数学没有量的概念,只有关系的概念,从这儿能走到那儿。我现在假设量的概念,走到这儿有多远。这样的话就可以判断这几条路走的远近。平移、旋转是最重要的,是图形最根本的处理手段和方法。

M:原来没有这个,学生的数学学得也很好,现在为什么要加上这个内容呢?

K:我想,这个意义应该可以从两个角度来谈:一个从数学内容去谈;一个是从生活角度谈。从生活角度谈,平移、旋转是现实生活中普遍存在的现象。从数学角度看,中学的很多几何内容可以利用平移、旋转的角度去思考和分析,而且,这样做往往会使不少难题豁然开朗。现在就是搞不清楚,平移、旋转对几何之外的其它领域是不是也有价值?

S:平移、旋转对大学数学也是非常有用的。如果坐标系在这儿,这儿有圆,假如直径是2,圆的方程应该是(x-a2+y-b2=1,我这么平移一下,把圆心挪过去的话,就变成x2+y2=1,这时,平移就起很大作用,标准化了。

你想一想,对于一个抛物线方程来说,如果顶点不在坐标轴上,对称轴又不平行于坐标轴,这个表达式将是非常复杂的。高中数学所学的配方法,其实质就是一个平移、旋转,它使得这个方程变得简单了、标准化了。通常,抛物线方程都要搞配方法,椭圆方程、双曲线方程也是如此,否则,这个方程要表示出来将是非常复杂的。

M:现在的问题是,如何让小学生和老师觉得它是重要的?我现在也很难说服他们这个东西是重要的,刚才你讲的线路图是很重要的。另外书上有一些涉及图案的简单图案,比如半圆,通过平移、旋转,我可以组成各式各样不同的图案。

S:所以,你要与现实生活联系起来。

 

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