4 分析与讨论

通过中美几何教材中“ 相似” 这一主题的比较可以发现，两国教材有许多相近之处，同时也存在着差异．

4.1 几何学习从“直观”开始

两国的几何教材都注重从“ 直观” 的水平引入新概念，有利于培养学生的几何直觉，也是符合心理学中关于思维发展的研究的．

事实上，“ 几何直观” 本身是几何学的一大特征．希尔伯特曾形象地指出：“ 算术记号是写下来的图形，几何图形是画下来的公式．” 英国著名数学家阿蒂亚则从思维形式的角度表达了这一观点：“ 尽管可用抽象推理的方法研究几何，但与代数相比，几何更加直观、易于理解……在几何中视觉思维占主导地位……所以几何中首先用到的是最直接的形象思维，用形象思维洞察，然后用逻辑思维严格化．” [6]此外，几何直观也深深地影响了数学家的研究工作，正如前苏联数学家柯尔莫戈洛夫所说：“ 只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化……” [7]因此学生通过对几何模型或图形的直观感受，形成几何直觉又是几何教学最独特的教育价值之一．

但在具体问题的处理上，两国教材又存在明显的差距．举例而言，《发现几何》以“ 哈哈镜” 作为反例说明形状不同，并配以插图；而《数学》则出现在练习中：“ 你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？” 我相信，我国有大量的学生（特别是农村学生）没有看到过哈哈镜，那么这一练习将是无效的，但作为例子那就完全是另外一回事了．《发现几何》的处理方式不仅能激发曾见过哈哈镜的学生的学习兴趣，使他们能用数学的眼光看待生活中的事物；也能使从未见过哈哈镜的学生感到惊奇；更重要的还在于使学生通过插图明白什么叫形状不同．因此，我国教材在几何内容的直观化时要关注素材的背景与学生的生活经验之间关系的处理．一方面，要引领熟悉素材背景的学生从数学的角度思考问题；另一方面，要使对素材背景陌生的学生也易于理解．

从文化的视角审视上述问题，即是指我们“ 在课程建设中要注重文化模式对学校课程的制约，做到课程的灵活多样，适应民族地区的特点” [8]．我国是一个统一的多民族国家，每个民族都有自己独特的文化模式，因此上述关注在我国几何课程改革中就有着特殊的重要性．实施一纲多本以来，民族地区可以根据各自的独特需要选择教材，这在一定程度上缓解了这些地区教材选择中存在的问题，但这却未能很好地解决存在于农村中小学的类似问题．具体而言，我国城乡差距大，从而形成了城市和农村学生文化背景的巨大差异．但当前教材中的感性材料主要取自城市，这与农村学生的文化直觉存在冲突．如果认为校本课程是一条解决途径，则我们需要思考，在课改初期农村中小学是否有可能有效地开发和实施校本课程，从而解决上述问题？

4.2 美国教材包含的知识面更广且更深

尽管两国均注重直观水平的几何学习，但这毕竟不是几何学习的全部．数学教育应使学生达到更高的思维水平．由表 1 的比较不难发现，美国要求的思维水平更高，这与高向斌对美国小学数学的考查结果[9]是一致的．在新一轮课程改革中，我国几何课程删去了大量抽象思维水平较高的知识．虽然增加了现实几何的内容来充实几何课程，但以降低对学生思维水平的要求（甚至低于被人们称为“ 一英里宽，一英寸深” 的美国教材）为手段，来适应大众数学的潮流，这是否意味着数学教育质量的提高是值得思考的。

高层次的几何思维，特别是逻辑思维能力是极为重要的数学素养．张景中院士就曾指出：“ 我认为几何是培养人的逻辑思维能力，陶冶人的情操，培养人良好性格特征的一门很好的课程．……中学阶段的几何教育，对于学生形成科学的思维方法与世界观具有不可替代的作用．为什么当前西方各国普遍感到计算机人才缺乏，尤其是编程人员缺乏，其中一个原因是他们把中学里的几何内容砍得太多，造成学生的逻辑思维能力以及对数学的兴趣大大降低．” [10]王元院士也认为：“ 几何的学习不是说学了这些知识有什么用，而是针对它的逻辑推导能力和严密的证明，而这一点对一个人成为一个科学家，甚至成为社会上素质很好的公民都是非常重要的，而这个能力若能在中学里得到训练，会终身受益无穷的．” [11]

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