2 范希尔理论在“相似”领域的具体化

对比中美几何教材[2，3，5]及《标准》可以发现，“ 相似”一章主要包括比和比例，图形相似的概念和性质，相似三角形概念、性质及判定，相似性的应用等内容．其中比和比例是研究相似性的重要工具．在本章学习之前，中美学生（美国学生指以《发现几何》为教材的学生，以下同）均已学过数的比和比例．因此，本章主要学习的新知识为图形的相似

及相似三角形．为了利用范希尔理论比较两国的这两部分内容，以下是对该理论在这一领域上的具体化．

0—水平，感受相似．学生通过直观图形从整体上感受图形的相似．具体地：（1）学生利用现实生活中“相似”的概念举出一些认为是相似的实物或图形，但可能不是数学中的相似；（2）学生通过照片或影印感受相似是通过放大或缩小而来的（；3）学生能从一组图形中直观地区分出相似图形，但其理由只能涉及“ 看上去相同” 或一图形放（缩）后能与另一图形重合．

1—水平，分析相似．学生能从图形的基本组成元素得出相似图形的性质，能构造图形说明相似．具体地：（1）学生能在方格纸或格点纸上绘已知图形的相似图；（2）学生使用测量的方式发现对应边、对应角之间的关系；（3）得出相似形对应边成比例，对应角相等的结论（以下称性质 1），但还不能清楚地意识到这一结论的逆向结论也成立；（4）利用性质 1 求相似形中的未知量；（5）相似三角形的概念、符号及其读法．

2—水平，关系—推理．学生能理解相似的判别定理，并能通过简单的推理得到更多的性质．具体地：（1）学生认识到对应边成比例、对应角相等的两图形相似，但只能通过放缩的思想直观感受，或通过计算机模拟实现；（2）通过性质 1 进一步推出周长、面积等关系，并认识到性质 1 是基础的；（3）得出相似三角形对应中线、高线等的关系；（4）利用性质 1 的逆判别图形相似；（5）通过观察、实验等方式，从具体例子中归纳出相似三角形的 3 个判别定理；（6）通过位似画相似图．

3—水平，形式演绎．学生能进行判别定理的形式证明，能进行多步骤的演绎．具体地：（1）学生能利用平行等相关知识证明图形相似；（2）在位似图上证明相似性；（3）对相似三角形的判别定理给出演绎论证．

4—水平，拓展．学生能对相似图的位置关系进行分类，发现其与变换间的关系；利用群的理论解释相似．

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