中美初中几何教材“相似”内容的比较

唐恒钧，张维忠（浙江师范大学 数理学院，浙江 金华 321004）

摘要：范希尔理论较好地刻画了学生的几何思维水平，以该理论为依据比较美国《发现几何》和我国新教材《数学·初中二年级（八年级）（下）》中“ 相似形” 一章，部分地揭示了中美几何内容的思维水平．两国都注重以直观几何为学习起点，但美国所包含的内容更广、更深，其主要的策略是构筑较为系统的问题情境，使学生的学习总处于由问题组织而成的情境脉络之中．我国教材注重通过正、反例进行辨析，以达到巩固中求发展的目的；也有通过问题提升学生思维水平的努力，但因缺乏相应的情境而显得突兀．

关键词：范希尔理论；中美几何；相似形；比较

中图分类号：G423.04 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2005）04–0055–04

几何课程是每一次数学教育改革的焦点，也是数学教育现代化进程中最复杂的因素[1]．我国新一轮课程改革对几何课程做出了大幅度的变革，这在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）研制初期就引起了学者的广泛争论．在这样的背景下，我们完全有必要通过中外几何课程的比较为我国几何课程的进一步改革把脉和定位．

“图形的相似” 是中美几何教材中共有的部分，并都以单独一章的形式进行学习．本文以美国《发现几何》[2]和我国数学新教材《数学·初中二年级（八年级）（下）》[3]（以下称《数学》）为文献源，以范希尔（Van Hiele）理论及其相关研究提出的几何思维 5 个水平理论为依据，对“ 相似” 这一中美几何课程共有的内容进行比较，以期揭示中美学生在“ 图形的相似” 这一部分的学习中主要处于何种水平？在各水平之间的过渡中有何特点?

1 范希尔理论及其相关研究

荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平：直观（Visualization）、分析（Analysis）、推理（Inference）、演绎（Deduction）、严谨（Rigor）[4]．这些不同的水平是不连续的，但却是顺次的．学生在进入某一水平学习之前，必须掌握之前水平的大部分内容．因此，势必需要讨论如何才能使学生从一个水平跳跃到下一水平？Alan Hoffer 根据范希尔理论给出了学生在每个思维水平上几何学习的阶段：熟知（Familiarization）、受指导的定向（Guided Orientation）、描述（Verbalization）、自由定向（Free Orientation）、整合（Integration）[4]．

美国数学教育界了解范希尔理论开始于 1976 年Wirszup 的文章，在之后的近三十年里开展了较为全面的研究．如 Mayberry 研究了 5 个水平的本质及学生在各水平中的组织；Usiskin 以范希尔理论为依据测量了学生的几何能力；Fuys 等调查了范希尔理论的教学效果；Burger 等则调查了这些水平在描述学生几何思维水平中的有效性，以及学生的外在行为对各水平的反映效果．

我国了解范希尔理论的时间比较晚．目前对该理论的研究还处于介绍和应用的阶段．如李士锜在分析几何认知的特点时，对范希尔的几何思维发展理论作了详细介绍；章建跃在解释平面几何入门难的问题时，也应用了该理论．

但问题是范希尔理论产生于荷兰，其学生受西方文化的影响，对于受东方文化影响的中国学生，这一理论是否依然有效？一项由美日学者共同开展的跨文化研究[4]表明，美日两国学生尽管在几何学习的阶段上存在细微的差异，但总体上，范希尔理论对于在东方文化下成长起来的学生仍然是有效的．因此，我们有理由相信，在东方文化下，范希尔理论仍然是可以应用的，也可作为中美几何课程比较的一个理论依据．

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