1.2 在具体内容要求中渗透数学思想方法

与以前的“ 数学教学大纲” 不同的是，《标准》不仅在总体目标中对数学思想方法的学习提出了要求，而且也在具体内容的要求方面有充分的体现，从而使总目标在此方面的要求得以实现有了必要的保证，也成为《标准》与以往“ 教学大纲” 重要区别之一．

1.2.1 显性要求和基本要求

《标准》中的必修课程，作为对升入高中的所有学生的要求，安排了一些基本的内容，一是满足作为未来公民的基本数学需要，二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备．但与以往的高中数学课程相比，《标准》在安排这些内容时，更加强调使学生了解这些知识产生和发展的背景，以及它们在现实世界中的应用，领悟其中的思想方法．

《标准》在总的要求中提出“ 必修课程的呈现力求展现出由具体到抽象的过程，努力体现数学知识中蕴涵的基本数学方法和内在的联系”，此外还结合相关的内容（如函数、解析几何、算法、概率等）提出了具体的要求．如《标准》对函数的学习要求是，学生应感受函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，应理解掌握如何运用函数来刻画现实世界中变量之间相互依赖的关系，“ 函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”，学生将学习“ 初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题”．

算法是《标准》新增加的内容，这部分内容的增加更多的是希望通过有关知识的学习，使学生感受其中的思想和方法．中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就．现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴．学生通过集中的和渗透式的学习，通过实例掌握运用算法解决问题的方法，并进一步体会构造性解决数学的思想方法，这些都是算法作为中学数学内容的初衷和理由．《标准》基于这样的考虑，提出“ 中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想”，其“思想方法应渗透在高中数学课程的其它有关内容中”．学生应在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，进一步“体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性”．

此外，统计、概率等内容的目标定位，也都特别地强调了对其中蕴涵的思想方法的要求．它的选择和定位及更多的是关注了其应用性和思想性．

1.2.2 隐性要求和较高要求

在选修内容中，《标准》除对出现在必修内容中的思想方法做了进一步要求外，又在选修内容中突出反映了对思想方法的关注．尤其是在选修系列 3 和 4 中，《标准》选择了既是数学中的基础性内容，又包含了丰富的数学思想方法的专题，希望通过这些专题的学习使学生更好地感受数学的内涵，有利于扩展学生的视野，有利于提高学生对数学的价值的认识．所以有些内容虽然看起来深奥，似乎是以往大学数学课程中的内容，但对这些内容的要求，不在于其严谨性和系统性，当然也不是通俗地讲讲故事，而是希望“ 让学生对它们的基本内容和基本思想方法有一个初步的了解”．

例如在“ 数学史选讲” 专题中，《标准》要求“ 内容应能反映数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法，使学生体会数学的重要思想和发展轨迹”．在其它的专题中，《标准》也都相应地提出了蕴涵在内容中的思想方法层面的要求．如在专题“ 三等分角和数域扩充” 中，学生将在了解一些相关的基本知识的基础上，感受几何问题代数化的过程，同时通过数学史的介绍，能了解在数学史上当人们去寻找解决问题的方法却毫无所获后，渐渐地怀疑解决这样的问题的方法是否是根本不存在的．于是就有了数学家对不可能问题的研究和思考，除三等分角外，在数学历史上，这样思考问题的例子还有“第五公设”的证明、“代数方程的根式解”的问题的讨论等．这种不可能问题，在数学上引起了极有价值的发展，数学家面临着这样的挑战：怎样才能证明某种问题是不可解的．在解决三大几何作图问题不能的过程中，数学家所使用的方法不是就事论事，即他们的着眼点不是一个一个地去说明某些作图问题为不可能，而是寻求正面的回答：怎样才能刻画出圆规直尺可以做出的所有可作图的特征？对这个问题回答了以后，三大几何作图问题以及其它的尺规作图问题的就迎刃而解了．因此，学生通过本专题的学习，既了解了古代数学的

著名作图问题，又通过对问题解决的过程了解，体会蕴涵在其中的重要的数学思想方法，这些思想方法对于其它问题的思考也是十分重要的．

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